3.32 \(\int \frac{\sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{g \sin (e+f x)} (c+c \sin (e+f x))} \, dx\)

Optimal. Leaf size=116 \[ -\frac{\sqrt{\frac{\sin (e+f x)}{\sin (e+f x)+1}} \sqrt{a+b \sin (e+f x)} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\cos (e+f x)}{\sin (e+f x)+1}\right )|-\frac{a-b}{a+b}\right )}{c f \sqrt{g \sin (e+f x)} \sqrt{\frac{a+b \sin (e+f x)}{(a+b) (\sin (e+f x)+1)}}} \]

[Out]

-((EllipticE[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sin[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])
]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sin[e + f*x]))])
)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.20434, antiderivative size = 116, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 1, number of rules used = 1, integrand size = 39, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.026, Rules used = {2932} \[ -\frac{\sqrt{\frac{\sin (e+f x)}{\sin (e+f x)+1}} \sqrt{a+b \sin (e+f x)} E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\cos (e+f x)}{\sin (e+f x)+1}\right )|-\frac{a-b}{a+b}\right )}{c f \sqrt{g \sin (e+f x)} \sqrt{\frac{a+b \sin (e+f x)}{(a+b) (\sin (e+f x)+1)}}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])),x]

[Out]

-((EllipticE[ArcSin[Cos[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])], -((a - b)/(a + b))]*Sqrt[Sin[e + f*x]/(1 + Sin[e + f*x])
]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(c*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/((a + b)*(1 + Sin[e + f*x]))])
)

Rule 2932

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]/(Sqrt[(g_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_) + (d_.)*sin[(e_.) +
(f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> -Simp[(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(d*Sin[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])]*Ellipt
icE[ArcSin[(c*Cos[e + f*x])/(c + d*Sin[e + f*x])], (b*c - a*d)/(b*c + a*d)])/(d*f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(c
^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/((a*c + b*d)*(c + d*Sin[e + f*x]))]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b*
c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && EqQ[c^2 - d^2, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{g \sin (e+f x)} (c+c \sin (e+f x))} \, dx &=-\frac{E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\cos (e+f x)}{1+\sin (e+f x)}\right )|-\frac{a-b}{a+b}\right ) \sqrt{\frac{\sin (e+f x)}{1+\sin (e+f x)}} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{c f \sqrt{g \sin (e+f x)} \sqrt{\frac{a+b \sin (e+f x)}{(a+b) (1+\sin (e+f x))}}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 40.0423, size = 4679, normalized size = 40.34 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]/(Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])),x]

[Out]

(-2*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*Sin[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[g*Si
n[e + f*x]]*(c + c*Sin[e + f*x])) + ((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^2*Sqrt[Sin[e + f*x]]*((a*Sqrt[Sin[e
+ f*x]])/(2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) - (b*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (a*Cot[(e + f*x
)/2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (b*Cot[(e + f*x)/2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(2*Sqrt[a + b*
Sin[e + f*x]]) - (b*Cos[(3*(e + f*x))/2]*Csc[(e + f*x)/2]*Sqrt[Sin[e + f*x]])/(2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (
b*Csc[(e + f*x)/2]*Sqrt[Sin[e + f*x]]*Sin[(3*(e + f*x))/2])/(2*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]))*Sqrt[(a + 2*b*Tan[(e
+ f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)]*((Tan[(e + f*x)/2]*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))/(1 + T
an[(e + f*x)/2]^2) + (Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[(a*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))/(a^2 - b^2)]
*(EllipticE[ArcSin[Sqrt[(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2
+ b^2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Tan[(e + f*x)/2] + EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f
*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b
+ Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[-((a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))]))/(Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b +
Sqrt[-a^2 + b^2])]*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))))/(f*Sqrt[g*Sin[e + f*x]]*(c + c*Sin[e +
f*x])*Sqrt[Tan[(e + f*x)/2]/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2)]*(-(Sqrt[(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2
]^2)/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)]*((-2*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + Sec[
(e + f*x)/2]^2/(2*(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2)))*((Tan[(e + f*x)/2]*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))/(1 + Tan[(e + f*x)/2
]^2) + (Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[(a*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))/(a^2 - b^2)]*(EllipticE[Ar
cSin[Sqrt[(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(-b +
Sqrt[-a^2 + b^2])]*Tan[(e + f*x)/2] + EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-
a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 +
b^2])]*Sqrt[-((a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))]))/(Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^
2])]*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))))/(2*(Tan[(e + f*x)/2]/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2))^(3/
2)) + (((b*Sec[(e + f*x)/2]^2 + a*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2) - (Sec[(e + f*
x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2)*((Tan[
(e + f*x)/2]*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2) + (Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[(a*(a + 2*b*Tan[(e + f*
x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))/(a^2 - b^2)]*(EllipticE[ArcSin[Sqrt[(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2]
)/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Tan[(e + f*x)/2] + EllipticF[ArcSi
n[Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b + Sqrt[
-a^2 + b^2])]*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[-((a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 +
b^2]))]))/(Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2
))))/(2*Sqrt[Tan[(e + f*x)/2]/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2)]*Sqrt[(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^
2)/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)]) + (Sqrt[(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^
2)]*(-((Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]^2*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))/(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)^2) + (Sec[(e +
f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/(2*(1 + Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (Sec[(e + f*x)/2]^2*(1 + Tan[(e + f*x)/2]))/(2*(1 +
Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (a*Sqrt[-a^2 + b^2]*(b*Sec[(e + f*x)/2]^2 + a*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])*(El
lipticE[ArcSin[Sqrt[(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^
2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Tan[(e + f*x)/2] + EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/
2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + S
qrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[-((a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))]))/(2*(a^2 - b^2)*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/
2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2)*Sqrt[(a*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/
2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))/(a^2 - b^2)]) - (Sqrt[-a^2 + b^2]*(b*Sec[(e + f*x)/2]^2 + a*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan
[(e + f*x)/2])*Sqrt[(a*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))/(a^2 - b^2)]*(EllipticE[ArcSin[Sqrt[
(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(-b + Sqrt[-a^2
+ b^2])]*Tan[(e + f*x)/2] + EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]
]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sq
rt[-((a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))]))/(Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*(a +
2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2) - (a*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Sqrt[(a*(a + 2*b*Tan[
(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2))/(a^2 - b^2)]*(EllipticE[ArcSin[Sqrt[(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e +
f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Tan[(e + f*x)/2] + Elliptic
F[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b
+ Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[-((a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[
-a^2 + b^2]))]))/(4*(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])*((a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2]))^(3/2)*(a + 2*b*Tan[
(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[(a*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e + f*x)/
2]^2))/(a^2 - b^2)]*((EllipticE[ArcSin[Sqrt[(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqr
t[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sec[(e + f*x)/2]^2)/2 - (a*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqr
t[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*S
ec[(e + f*x)/2]^2*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])])/(4*(b + Sqrt[-a^2 + b^2])*Sqrt[-((a*Tan[
(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))]) + (a*EllipticF[ArcSin[Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])
/Sqrt[-a^2 + b^2]]/Sqrt[2]], (2*Sqrt[-a^2 + b^2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Sqrt[-((a*Tan[(e
+ f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(4*(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])*Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^
2])]) - (a*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]*Sqrt[1 - (-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqr
t[-a^2 + b^2])])/(4*Sqrt[2]*Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[(-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2
]]*Sqrt[1 - (-b + Sqrt[-a^2 + b^2] - a*Tan[(e + f*x)/2])/(2*Sqrt[-a^2 + b^2])]) + (a*Sec[(e + f*x)/2]^2*Sqrt[(
a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[-((a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqrt[-a^2 + b^2]))])/(4*Sqrt[2]*
Sqrt[-a^2 + b^2]*Sqrt[(b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]*Sqrt[1 - (b + Sqrt[-a^2 +
b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/(2*Sqrt[-a^2 + b^2])]*Sqrt[1 - (b + Sqrt[-a^2 + b^2] + a*Tan[(e + f*x)/2])/(b + Sqr
t[-a^2 + b^2])])))/(Sqrt[(a*Tan[(e + f*x)/2])/(-b + Sqrt[-a^2 + b^2])]*(a + 2*b*Tan[(e + f*x)/2] + a*Tan[(e +
f*x)/2]^2))))/Sqrt[Tan[(e + f*x)/2]/(2 + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2)]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.395, size = 6804, normalized size = 58.7 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)/(c+c*sin(f*x+e))/(g*sin(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a}}{{\left (c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )} \sqrt{g \sin \left (f x + e\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)/(c+c*sin(f*x+e))/(g*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sin(f*x + e) + a)/((c*sin(f*x + e) + c)*sqrt(g*sin(f*x + e))), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{\sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a} \sqrt{g \sin \left (f x + e\right )}}{c g \cos \left (f x + e\right )^{2} - c g \sin \left (f x + e\right ) - c g}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)/(c+c*sin(f*x+e))/(g*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-sqrt(b*sin(f*x + e) + a)*sqrt(g*sin(f*x + e))/(c*g*cos(f*x + e)^2 - c*g*sin(f*x + e) - c*g), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \frac{\int \frac{\sqrt{a + b \sin{\left (e + f x \right )}}}{\sqrt{g \sin{\left (e + f x \right )}} \sin{\left (e + f x \right )} + \sqrt{g \sin{\left (e + f x \right )}}}\, dx}{c} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))**(1/2)/(c+c*sin(f*x+e))/(g*sin(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*sin(e + f*x))/(sqrt(g*sin(e + f*x))*sin(e + f*x) + sqrt(g*sin(e + f*x))), x)/c

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a}}{{\left (c \sin \left (f x + e\right ) + c\right )} \sqrt{g \sin \left (f x + e\right )}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*sin(f*x+e))^(1/2)/(c+c*sin(f*x+e))/(g*sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(b*sin(f*x + e) + a)/((c*sin(f*x + e) + c)*sqrt(g*sin(f*x + e))), x)